九年级人教版数学上册期末考知识点
同学可以建立自己的题库。一本是错题，一本是精题。对于平时作业，考试涌现的错题，有选择地记下来，并用红笔在一侧批注注意事项，考试前只需翻看红笔写的内容即可。下面是小编为大家整理的有关九年级人教版数学上册期末考知识点，希望对你们有帮助!
九年级人教版数学上册期末考知识点：试题及答案
试题
一、选择题(共8小题，每小题4分，满分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为()
A. B. C. D.
3.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是()
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是()
A. B. C. D.
5.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为()
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1<0<x2，则下列结论正确的是()< p="">
A. y1<0<y2 p="" y2<y1<0<="" d.="" y1<y2<0="" c.="" y2<0
7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F.若AC=2，则OF的长为()
A. B. C. 1 D. 2
8.如图，在矩形ABCD中，AB<bc，ac，bd交于点o.点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()< p="">
A. 线段EF B. 线段DE C. 线段CE D. 线段BE
二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)
9.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2.(结果保留π)
10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为.
12.对于正整数n，定义F(n)= ，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)=，F2015(4)=;
(2)若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是.
三、解答题(共13小题，满分72分)
13.计算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE.
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值.
16.抛物线y=2x2平移后经过点A(0，3)，B(2，3)，求平移后的抛物线的表达式.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标.
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x2<0，且 >﹣1，求整数m的值.
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10);
质量档次 1 2 … x … 10
日产量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的值.
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F.点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF.
(1)求证：直线PC是⊙O的切线;
(2)若AB= ，AD=2，求线段PC的长.
22.阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.
请回答：
(1)如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB;
(2)如图2，线段AB与CD交于点O.为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算：OC=;tan∠AOD=;
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD=.
23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n).
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;
(3)若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a(x﹣1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.
24.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.
(1)如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系;
(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF.
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长;
②请直接写出线段AF的长(用含α的式子表示).
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积.
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=;
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
2014-2015学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题，每小题4分，满分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
考点： 根的判别式.
分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可.
解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选A.
点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)①当b2﹣4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac<0时，一元二次方程没有实数根.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为()
A. B. C. D.
考点： 锐角三角函数的定义.
分析： 直接根据三角函数的定义求解即可.
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA= = .
故选A.
点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA=∠A的对边：斜边=a：c.
3.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是()
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
考点： 由三视图判断几何体.
分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.
解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.
故选：D.
点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定.
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是()
A. B. C. D.
考点： 概率公式.
分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案.
解答： 解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，
∴抽到的座位号是偶数的概率是： = .
故选C.
点评： 此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
5.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为()
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
考点： 位似变换.
专题： 计算题.
分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可.
解答： 解：∵C1为OC的中点，
∴OC1= OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴ = ，B1C1∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
即 =
∴A1B1=2.
故选B.
点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：①两个图形必须是相似形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行.
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1<0<x2，则下列结论正确的是()< p="">
A. y1<0<y2 p="" y2<y1<0<="" d.="" y1<y2<0="" c.="" y2<0
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征.
专题： 计算题.
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1<0<x2即可得到y1与y2的大小.< p="">
解答： 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，
∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，
∵x1<0<x2，< p="">
∴y2<0<y1.< p="">
故选B.
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F.若AC=2，则OF的长为()
A. B. C. 1 D. 2
考点： 垂径定理;全等三角形的判定与性质.
分析： 根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.
解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE(AAS)，
∴OF=AD=1，
故选C.
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.
8.如图，在矩形ABCD中，AB<bc，ac，bd交于点o.点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()< p="">
A. 线段EF B. 线段DE C. 线段CE D. 线段BE
考点： 动点问题的函数图象.
分析： 作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论.
解答： 解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G.
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE< 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误;
由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd> 时，DE有最小值，故B正确;
∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误;
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE< 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误;
故选：B.
点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键.
二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)
9.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2.(结果保留π)
考点： 扇形面积的计算.
专题： 压轴题.
分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出.
解答： 解：由S= 知
S= × π×32=3πcm2.
点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= .
10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m.
考点： 相似三角形的应用.
分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.
解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得， = ，
解得x=24，
即这栋建筑物的高度为24m.
故答案为：24.
点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键.
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1.
考点： 二次函数的性质.
专题： 数形结合.
分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.
解答： 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴方程组 的解为 ， ，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1.
故答案为x1=﹣2，x2=1.
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ ， )，对称轴直线x=﹣ .也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.
12.对于正整数n，定义F(n)= ，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)=37，F2015(4)=26;
(2)若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是6.
考点： 规律型：数字的变化类.
专题： 新定义.
分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可.
解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;
F1(4)=F(4)=16，F2(4)=37，F3(4)=58，
F4(4)=89，F5(4)=145，F6(4)=26，F7(4)=40，F8(4)=16，
通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;
(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.
故答案为：(1)37，26;(2)6.
点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键.
三、解答题(共13小题，满分72分)
13.计算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
考点： 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题： 计算题.
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可.
解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE.
考点： 相似三角形的判定.
专题： 证明题.
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论.
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE.
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质.
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值.
考点： 一元二次方程的解.
专题： 计算题.
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值.
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式= = =3.
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.抛物线y=2x2平移后经过点A(0，3)，B(2，3)，求平移后的抛物线的表达式.
考点： 二次函数图象与几何变换.
专题： 计算题.
分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式.
解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，
把点A(0，3)，B(2，3)分别代入得 ，解得 ，
所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3.
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标.
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析： (1)把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式;
(2)由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标.
解答： 解：
(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴点A坐标为(2，4)，
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y= ;
(2)∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为(﹣2，﹣4)，
∴B到OC的距离为4，
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，
∴S△OPC=8，
设P点坐标为(x， )，则P到OC的距离为| |，
∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，
∴P点坐标为(1，8)或(﹣1，﹣8).
点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在(1)中求得A点坐标、在(2)中求得P点到OC的距离是解题的关键.
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
考点： 解直角三角形;勾股定理.
专题： 计算题.
分析： (1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.
解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC= =6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，
∴BE= = ，
在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值为 .
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x2<0，且 >﹣1，求整数m的值.
考点： 根的判别式;根与系数的关系.
专题： 计算题.
分析： (1)由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可;
(2)利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可.
解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，
则m的范围为m≠0且m≠2;
(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，
∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，
∵ >﹣1，
∴ >﹣1，即m>﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2<m<0，< p="">
∵m为整数，
∴m=﹣1.
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0.
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10);
质量档次 1 2 … x … 10
日产量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的值.
考点： 二次函数的应用.
分析： (1)根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式;
(2)由(1)的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论.
解答： 解：(1)由题意，得
y=(100﹣5x)(2x+4)，
y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整数);
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400;
(2)∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y=1210.
答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元.
点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F.点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF.
(1)求证：直线PC是⊙O的切线;
(2)若AB= ，AD=2，求线段PC的长.
考点： 切线的判定;勾股定理;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.
分析： (1)首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线;
(2)首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长.
解答： (1)证明：连接OC.
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC.
∵FA经过圆心O，
∴F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF.
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF.
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°.
∴OC⊥PC.
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2.
∴BE=CE=1.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，
∴ .
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r.
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2.
∴r2=(3﹣r)2+1.
解得 ，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.
∴△OCE∽△CPE，
∴ .
∴ .
∴ .
点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
22.阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.
请回答：
(1)如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB;
(2)如图2，线段AB与CD交于点O.为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算：OC= ;tan∠AOD=5;
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= .
考点： 相似形综合题.
分析： (1)用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置;
(2)连接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值;
(3)如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.
解答： 解：(1)如图所示：
线段CD即为所求.
(2)如图2所示连接AC、DB、AD.
∵AD=DE=2，
∴AE=2 .
∵CD⊥AE，
∴DF=AF= .
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO.
∴CO：DO=2：3.
∴CO= .
∴DO= .
∴OF= .
tan∠AOD= .
(3)如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5.
由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF.
∴AO：OB=AE：FB=5：2.
∴AO= .
在Rt△AOF中，OF= = .
∴tan∠AOD= .
点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键.
23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n).
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;
(3)若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a(x﹣1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.
考点： 反比例函数综合题;代数式求值;反比例函数与一次函数的交点问题;二次函数的性质.
专题： 综合题;数形结合;分类讨论.
分析： (1)只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题;
(2)将点B的坐标代入y=(x﹣1)2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题;
(3)可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题.
解答： 解：(1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n)，
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4;
(2)∵二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，
∴n=(m﹣1)2=m2﹣2m+1，
∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n
=mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n
=4n+2×4﹣4n
=8，
即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8;
(3)设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，
解 ，得：
或 ，
∴点C(﹣2，﹣2)，点D(2，2).
①若a>0，如图1，
当抛物线y=a(x﹣1)2经过点D时，
有a(2﹣1)2=2，
解得：a=2.
∵|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0<a<2;< p="">
②若a<0，如图2，
当抛物线y=a(x﹣1)2经过点C时，
有a(﹣2﹣1)2=﹣2，
解得：a=﹣ .
∵|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a<﹣ .
综上所述：满足条件的a的范围是0<a<2或a<﹣ p="" .
点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第(2)小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第(3)小题的关键.
24.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.
(1)如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系;
(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF.
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长;
②请直接写出线段AF的长(用含α的式子表示).
考点： 几何变换综合题.
分析： (1)根据等腰直角三角形的性质得出即可;
(2)①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD.求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可;
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可.
解答： 解：(1)AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4;
(2)①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD.
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF= =4 ;
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FME= ，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin =8sin .
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积.
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1;
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为2;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
考点： 圆的综合题.
分析： (1)由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可;
②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可;
(2)先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解.
(3)分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可.
解答： 解：(1)①如图3，
∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，
∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，
故答案为：1.
②如图4，
∵AB⊥x轴，OA=OB=1.
∴AB= ，OC= ，
∴它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，
故答案为：1.
(2)如图5，图形的测度面积S的值，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形.
∴它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，
故答案为：2.
(3)设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，
当A，B或B，C都在x轴上时，
如图6，图7，
矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12.
当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，
当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF.
图形W的测度面积S=EF•GF，
∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB∽△BFC，
∴ = = = ，
设AE=4a，EB=4b，(a>0，b>0)，则BF=3a，FC=3b，
在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，
∵b>0，
∴b= ，
在△ABE和△CDG中，
∴△ABE≌△CDG(AAS)
∴CG=AE=4a，
∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，
∴图形W的测度面积S=EF•GF=(4b+3a)(3b+4a)=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，
当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，
∵a>0，b>0，
∴ >0，
∴S>12，
综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ .
点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值.