高一集合知识点总结
高一集合知识点总结
数学是培养逻辑思维能力,分析能力的重要学科,下面是小编为大家搜集整理的高一集合知识点总结,欢迎大家阅读与借鉴,希望能够给你带来帮助。
高一集合知识点总结【1】
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:集合中的任意两个元素都是不同的
(3) 元素的无序性: 集合中的元素之间是没有顺序的。如:{a,b,c} 和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
属于:;包含于:;
属于与包含于的区别:
属于是元素与集合之间的关系,例如:元素a属于集合A{a,b}
包含于是集合与集合之间的关系。例如:集合A{a}包含于集合B {a,c}
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
高一集合知识点总结【2】
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则ab)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对xA都有xB,则A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0B但x0 A;记为A B(或 ,且 )
3)交集:AB={x| xA且xB}
4)并集:AB={x| xA或xB}
5)补集:CUA={x| x A但xU}
注意:①? A,若A?,则? A ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的'术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①AB=A A B;②AB=B A B;③A B C uA C uB;
④ACuB = 空集 CuA B;⑤CuAB=I A B。
5.交、并集运算的性质
①AA=A,A? = ?,AB=BA;②AA=A,A? =A,AB=BA;
③Cu (AB)= CuACuB,Cu (AB)= CuACuB;
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,mZ},N={x|x= ,nZ},P={x|x= ,pZ},则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{x|x= ,mZ};对于集合N:{x|x= ,nZ}
对于集合P:{x|x= ,pZ},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={, ,},N={, , , ,},P={, , ,},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= N, N,M N,又 = M,M N,
= P,N P 又 N,P N,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={x|xA且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={x|xA且x B}, A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若aM,则6?aM,那么集合M的个数为
A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且AB={1},AB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵AB={1} 1B 12?41+r=0,r=3.
B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵AB={?2,1,3},?2 B, ?2A
∵AB={1} 1A 方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AB={2},AB=B,求实数b,c,m的值.
解:∵AB={2} 1B 22+m?2+6=0,m=-5
B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵AB=B
又 ∵AB={2} A={2} b=-(2+2)=4,c=22=4
b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足:AB={x|x-2},且AB={x|1
分析:先化简集合A,然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
解答:A={x|-21}。由AB={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-,-2)B=ф。
综合以上各式有B={x|-15}
变式1:若A={x|x3+2x2-8x0},B={x|x2+ax+b0},已知AB={x|x-4},A,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若MN=N,求所有满足条件的a的集合。
解答:M={-1,3} , ∵MN=N, N M
①当 时,ax-1=0无解,a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。