职高均值定理课件

均值定理又叫基本不等式，是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用。以下是小编整理的职高均值定理课件，欢迎阅读。

复习目标

1.掌握均值定理.

2.会用均值定理求最值和证明不等式.

3.会解不等式的应用题.

知识回顾

均值定理及重要不等式：

一.均值定理：

，其中当且仅当时取等号;

注：注意运用均值不等式求最值时的条件：

(1);(2)与的积是一个定值(正数);(3)当且仅当时取等号.

记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.

二、重要不等式

(1);

(2)， 其中当且仅当时取等号.

三.例题精解

【例1】 (1)如果，则的最大值是 ;

(2)如果，则的最小值是 .

分析：两题显然都可以用均值定理求解.

解：(1)

当且仅当时，有最大值4.

(2)

当且仅当时，取最小值6.

【点评】(1)若，且(常数)，则;

(2)若，且(常数)，则.

【例2】 当时，求的最大值.

分析：由于为定值，且依题意有，故可用均值定理，求最值.

解：∵,∴

当且仅当, 即时，取最大值8.

【例3】当时，求函数的最小值.

分析： ，由于为定值，且依题知，故可用均值定理求最值.

解：∵，∴

当且仅当，即时，取最小值3.

【例4】求函数的最小值，下列解法是否正确?为什么?

解法一：

∴

解法二：，当，即时，

∴

答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得;解二错在不是定值(常数).

正确的解法是：

当且仅当，即时，

【点评】(1)用求最值时需要同时满足如下三个条件：

①;

②为常数;

③“=”可取.

(2)注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等” .

(3)利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项(常常是拆低次的式子)等方式进行构造.

【例5】若正数满足，求的最小值.

解：∵ ，

当且仅当，即时，取最小值.

【例6】将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角(四个全等的正方形)，做成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?

解：设剪去的小正方形的边长为

则其容积为

当且仅当即时，

所以当剪去的.小正方形的边长为时，铁盒的容积最大为.

同步训练

1.为非零实数，那么不等式恒成立的是( )

A. B. C. D.

2.设则下列不等式成立的是( )

A. B. C. D.

3.如果>0，则≥ .

4.如果，则的最大值是 .

5.如果，则的最小值是 .

6.如果，则的最小值是 .

7.已知，函数的最小值是 .

8.已知，函数的最大值是 .

9.已知，函数的最大值是 .

10.已知，函数的最小值是 .

11.若，,，则的最大值是 .

12.当时，求的最小值, 并求此时的取值.

13.已知，求的最小值, 并求此时的取值.

14.已知：，求的最大值，并求此时的取值.

15.当时，求的最小值.

16.用铁皮做圆柱形的密封式罐头瓶，要求它的体积为定值V，问怎样设计底面圆的半径和它的高，才能使用料最省.

17.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料)